“首先,是哥德尔对这个问题的证明。”
“哥德尔的工作,就是建立一个巨大的框架,这个框架之内,包含了所有zf公理体系中所有‘可建立集合’。然后,在这个模型当中,哥德尔证明了,zf公理体系之内,连续统假说无法证伪🇷🝋。”
“而在哥德尔做出这个证明的二⛿十三年后,另一位数学家科恩则做出了证明。这位证明了,在zf公理体系之内,连续统假说无法证实。”
“换句话说,连续统假说,其实是一个不可判定问题。它独立于集合🔌⚴论之🕑外,🄘♟无论是成立还是不成立,无论你是接受它还是不接受它,都不影响什么。”
“集合论创始者根据集合论问出的著名假说,😾🕳却是独立于集合论之外,这也算是造化弄人啊。”王崎微♟微感叹了一句🎪。
“而力迫法,就🚛🔂♗和哥德尔的思路截然不同了。”
“力迫🄘♝法”这个叫法颇为暴力,事实上,它的思路也很接近暴力破解。它将“可建🈸🃂🔽立集合”的范围,扩张道了zf公理体系所允许的最小范围以下,🃢🙠然后逐步逼近那个结果。
由于这个论证涉及“创造原本不存在的集合”,所以科恩力迫法的证明过程,比哥德尔的过程要艰🟊深许多倍。
而这也是最关♕键的部分。“力迫法”的意义,并不仅仅在于连续统。它的出现🄘♟,使得数学家可以发现去多其他独立于zf公理体系的命题。
如果🅏单纯从数学的角🌳度来讲,力迫法的冲击性甚至比哥德尔不完备定理更大。
在地球的历史上,以希尔伯特为首的一部分数学家,一直到死都无视着哥德尔。🆪💘💋其中固然有很大一部分原因是理念之争、信仰之争,他们根本无法接受哥德尔的理论。
可是,这也与哥德🜳🆊尔的论述“⚲🕘不够数学”有关。
在一部分🞧数学家看来,哥德尔不完备定理,更多的只是一个文字性的论述,而非数学的证明过程。
“只🅏要我能过完成力迫法,神州的算学就能够进入一个新的境界。🌓⚐🐦”
王崎奋笔疾书。一时之间,书⚲🕘房里就只剩下笔尖与纸张摩擦的声音。
“寻找……寻找比zf公理下可建🃚立🌕⚥集合更小的集合……”
“独立的公理……”
“独立……”
在王崎的思🞻🙕考当中,🌳他体内的法力再次发生细微🗚🜉的改变。
只是这一次,他身周没有出🔷🅔现任何异象,法力也没有出现任何暴动或是崩溃🏇😁的迹象。🏊
一切变化好像都是无声无息的。好像就是他的法力发生了一点🆅🍈点细小的调整。
“哥德尔的工作,就是建立一个巨大的框架,这个框架之内,包含了所有zf公理体系中所有‘可建立集合’。然后,在这个模型当中,哥德尔证明了,zf公理体系之内,连续统假说无法证伪🇷🝋。”
“而在哥德尔做出这个证明的二⛿十三年后,另一位数学家科恩则做出了证明。这位证明了,在zf公理体系之内,连续统假说无法证实。”
“换句话说,连续统假说,其实是一个不可判定问题。它独立于集合🔌⚴论之🕑外,🄘♟无论是成立还是不成立,无论你是接受它还是不接受它,都不影响什么。”
“集合论创始者根据集合论问出的著名假说,😾🕳却是独立于集合论之外,这也算是造化弄人啊。”王崎微♟微感叹了一句🎪。
“而力迫法,就🚛🔂♗和哥德尔的思路截然不同了。”
“力迫🄘♝法”这个叫法颇为暴力,事实上,它的思路也很接近暴力破解。它将“可建🈸🃂🔽立集合”的范围,扩张道了zf公理体系所允许的最小范围以下,🃢🙠然后逐步逼近那个结果。
由于这个论证涉及“创造原本不存在的集合”,所以科恩力迫法的证明过程,比哥德尔的过程要艰🟊深许多倍。
而这也是最关♕键的部分。“力迫法”的意义,并不仅仅在于连续统。它的出现🄘♟,使得数学家可以发现去多其他独立于zf公理体系的命题。
如果🅏单纯从数学的角🌳度来讲,力迫法的冲击性甚至比哥德尔不完备定理更大。
在地球的历史上,以希尔伯特为首的一部分数学家,一直到死都无视着哥德尔。🆪💘💋其中固然有很大一部分原因是理念之争、信仰之争,他们根本无法接受哥德尔的理论。
可是,这也与哥德🜳🆊尔的论述“⚲🕘不够数学”有关。
在一部分🞧数学家看来,哥德尔不完备定理,更多的只是一个文字性的论述,而非数学的证明过程。
“只🅏要我能过完成力迫法,神州的算学就能够进入一个新的境界。🌓⚐🐦”
王崎奋笔疾书。一时之间,书⚲🕘房里就只剩下笔尖与纸张摩擦的声音。
“寻找……寻找比zf公理下可建🃚立🌕⚥集合更小的集合……”
“独立的公理……”
“独立……”
在王崎的思🞻🙕考当中,🌳他体内的法力再次发生细微🗚🜉的改变。
只是这一次,他身周没有出🔷🅔现任何异象,法力也没有出现任何暴动或是崩溃🏇😁的迹象。🏊
一切变化好像都是无声无息的。好像就是他的法力发生了一点🆅🍈点细小的调整。